Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個焦點與一個頂點組成一個直角三角形的三個頂點，且橢圓E過點M（2，

2

），O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在以原點為圓心的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

？若存在，寫出該圓的方程，并求該切線在y軸上截距的取值范圍及|AB|的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

4

a2

+

2

b2

=1，a²=2b²，由此能求出橢圓E的方程．
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得廖圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且

OA

⊥

OB

，該橢圓的切線方程為y=kx+m，解方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）m²+4km+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量垂直，結(jié)合已知條件推導(dǎo)出存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

，|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]，m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，且當(dāng)切線的斜率不存在時，y軸上的截距不存在．

解答： 解：（1）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)過M（2，

2

），
∴

4

a2

+

2

b2

=1，
又E：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的兩個焦點與一個頂點組成一個直角三角形的三個頂點，
∴a²=2b²，解得

a2=8 b2=4

，
∴橢圓E的方程為：

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，
使得廖圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
且

OA

⊥

OB

，該橢圓的切線方程為y=kx+m，
解方程組

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，得（1+2k²）m²+4km+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）＞0，
整理，得8k²-m²+4＞0，
x1+x2=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=

k2(2m2-8)

1+2k2

+m2=

m2-8k2

1+2k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0，
∴3m²-8k²-8=0，
∴k2=

3m2-8

8

≥0，又8k²-m²+4＞0，
∴

m2＞2 3m2≥8

，∴m2≥

8

3

，即m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

．
∵直線y=kx+m為圓心在原點的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=

|m|

1+k2

，
r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，∴r=

2 6

3

，
所求圓的方程為x2+y2=

8

3

，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( -4km 1+2k2 )2-4• 2m2-8 1+2k2

=

4 6

3

(4k2+1)(k2+1) (1+2k2)

=

4 6

3

4k4+4k2+1+k2 4k4+4k2+1

=

4 6

3

1+ k2 4k4+4k2+1

∈（

4 6

3

，2

3

]，
此時圓的切線y=kx+m都滿足m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為x=±

2 6

3

與橢圓

x2

8

+

y2

4

=1的兩個焦點為（

2 6

3

，±

2 6

3

）或（-

2 6

3

，±

2 6

3

）滿足

OA

⊥

OB

，
|AB|=

4 6

3

，
綜上所述，存在圓心在原點的圓x2+y2=

8

3

，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，
且

OA

⊥

OB

，|AB|∈[

4 6

3

，2

3

]，m≥

2 6

3

或m≤-

2 6

3

，
且當(dāng)切線的斜率不存在時，y軸上的截距不存在．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，考查該切線在y軸上截距的取值范圍及|AB|的取值范圍的求法，解題時要注意橢圓弦長公式的靈活運用．