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已知函數f(x)=2
3
sin
x
2
cos
x
2
-(cos2
x
2
-sin2
x
2
)．
（1）求函數f（x）的最大值并求出此時x的值；
（2）若f（x）=0，求
sinx+cos(π+x)
sinx+sin(
π
2
-x)
的值．
分析：（1）利用 二倍角公式、兩角差的正弦公式把函數f（x）化為2sin（x-
π
6
），當x-
π
6
=2kπ+
π
2
，k∈Z時，f（x）取得最大值．
（2）令f（x）=0時，得tanx的值，利用同角三角函數的基本關系 和誘導公式得到
sinx+cos(π+x)
sinx+sin(
π
2
-x)
=
sinx-cosx
sinx+cosx
=
tanx-1
tanx+1
，把tanx的值代入求得結果．
解答：解：（1）f(x)=2
3
sin
x
2
cos
x
2
-(cos2
x
2
-sin2
x
2
)=
3
sinx-cosx=2sin(x-
π
6
)．
當x-
π
6
=2kπ+
π
2
，k∈Z，即x=2kπ+
2π
3
，k∈Z時，f（x）取得最大值為2．
（2）令f（x）=0時，得tanx=
3
3
．
∴
sinx+cos(π+x)
sinx+sin(
π
2
-x)
=
sinx-cosx
sinx+cosx
=
tanx-1
tanx+1
=
3
-2．
點評：本題考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式、誘導公式，兩角差的正弦公式的應用，以及正弦函數的最值，把函數f（x）化為2sin（x-
π
6
）是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數f（x）在（-1，+∞）上為減函數；
（3）是否存在負數x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數x均成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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