已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x，y均有f（x）+f（y）=2f，f（0）≠0，且存在非零常數(shù)c，使f（c）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）求證f（x）是周期函數(shù)，并求出f（x）的一個周期．
【答案】分析：（1）令x=0，y=0，并代入有，即可求出f（0）的值；
（2）令y=-x，代入求得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），即可證得結(jié)果；
（3）根據(jù)存在非零常數(shù)c，使f（c）=0及周期函數(shù)的定義得到f（2c+x）+f（x）==0，再驗(yàn)證f（4c+x）=f（x）即可證明結(jié)論．
解答：解：（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令y=-x，
可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
有f（-x）=f（x），
則f（x）為偶函數(shù)、
（3）∵f（2c+x）+f（x）=，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期為4c．
點(diǎn)評：此題是個中檔題題，考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)奇偶性和周期性的定義判斷函數(shù)的奇偶性和周期性，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex，直線l的方程為y=kx+b．
（1）求過函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)P（t，f（t））的切線方程；
（2）若直線l是曲線y=f（x）的切線，求證：f（x）≥kx+b對任意x∈R成立；
（3）若f（x）≥kx+b對任意x∈[0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＞|y-m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m．
（1）若x2-1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D={{x|x≠
kπ
2
+
π
4
，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中遠(yuǎn)離0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若實(shí)數(shù)x、y、m滿足|x-m|＜|y-m|，則稱x比y接近m．
（1）若x2-1比3接近0，求x的取值范圍；
（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab
；
（3）已知函數(shù)f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那個值．寫出函數(shù)f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
ex
ex+1
．
（Ⅰ）證明函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，
1
2
）對稱；
（Ⅱ）設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù)，令g(x)=f-1(
x+1
x+2
)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得任給a∈[
1
4
，
1
3
]，對任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立？若存在，求b的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∈CRQ
，則f（f（x））=
1
1

下面三個命題中，所有真命題的序號是
①②③
①②③
．
①函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
②任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立；
③存在三個點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．

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