Question

（2012•江西模擬）已知向量

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）．記函數(shù)f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（II）求函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運算得（

a

+

b

）²=1+2cos²x，再結(jié)合二倍角的余弦公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，最后根據(jù)正弦函數(shù)最值的結(jié)論，可得f（x）的最小值及取最小值時x的集合；
（2）根據(jù)（1）化簡得的表達式，列出不等式-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解此不等式再將它變成區(qū)間，即可得到
函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，0），

b

=（0，sinx）
∴

a

+

b

=（

3

cosx，sinx），得（

a

+

b

）²=3cos²x+sin²x=1+2cos²x
f（x）=（

a

+

b

）²十

3

sin2x=1+2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2
∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ（k∈Z），即x=-

π

3

+kπ（k∈Z）時，f（x）有最小值為0；
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，其中k∈Z．

點評：本題以向量為載體，求三角函數(shù)的最值并討論單調(diào)區(qū)間，著重考查了平面向量的坐標(biāo)運算、三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．