Question

矩形ABCD中，AB=6，BC=2

3

，沿對角線BD將三角形ABD向上折起，使A移至點P，且P在平面BCD的射影O在DC上，則二面角P-BD-C的平面角的余弦值是

 

．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：過點O作OE⊥BD，連結(jié)PE，可得∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，解△CPD和△DPB，可得答案．

解答： 解：∵PO⊥面BCD，
∴過點O作OE⊥BD，連結(jié)PE，

∴∠PEO為二面角P-BD-C的平面角，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥CD，DA⊥AB，
∵A點移動到了P點，
∴PD⊥PB，
又∵P點在平面BCD上的射影在CD上，
∴過P點作PO⊥CD，
∴PO⊥面BCD，
∴BC⊥面PCD，
∴PD⊥面PBC，
∴PD⊥PC，
∴△CPD為Rt△，
∵AB=6，BC=2

3

，
∴PC=2

6

，PO=2

2

又∵在Rt△DPB中，PD=2

3

，PB=6，BD=4

3

∴PE=3，
∴sin∠PEO=

PO

PE

=

1

3

，
故答案為：

1

3

．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，是空間立體幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．