Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求證：（n≥1）；
（Ⅲ）令（a＞0），求同時滿足下列兩個條件的所有a的值：①對于任意正整數(shù)n，都有；②對于任意的，均存在n∈N^*，使得n≥n時，T_n＞m．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）即a_n=a_n-1+2^n-1再用累加法求解．
（Ⅱ）由（I）求得b_n，再觀察T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）可用裂項相消法求解．
（Ⅲ）受（II ）的啟發(fā)，我們可以先a=2研究，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，
∴．
因為是恒成立，所以取n等于不超過的最大整數(shù)，則當(dāng)n≥n時，T_n＞m（ⅱ）當(dāng)a＞2時，∵n≥1，，∴，．（ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時，∵n≥1，，∴，分別放縮研究．
解答：解：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2++2²+5
=2^n-1+2^n-2++2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）（3分）
檢驗知n=1、2時，結(jié)論也成立，故a_n=2ⁿ+1．（4分）
（Ⅱ）由于
故
=．（9分）
（Ⅲ）（�。┊�(dāng)a=2時，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，
∴．
取n等于不超過的最大整數(shù)，則當(dāng)n≥n時，T_n＞m．（10分）
（ⅱ）當(dāng)a＞2時，∵n≥1，，∴，
∴．
∴．
由（�。┲�存在n∈N^*，當(dāng)n≥n時，，
故存在n∈N^*，當(dāng)n≥n時，，不滿足條件．（12分）
（ⅲ）當(dāng)0＜a＜2時，∵n≥1，，∴，
∴．
∴．
取，若存在n∈N^*，當(dāng)n≥n時，T_n＞m，
則．
∴矛盾．故不存在n∈N^*，
當(dāng)n≥n時，T_n＞m．不滿足條件．
綜上所述：只有a=2時滿足條件，故a=2．（14分）
點評：本題主要考查累加法求通項，裂項相消法求和，具體到一般分類討論等思想方法的運用．