Question

【題目】（10分）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F，G，H．

（1）求四面體ABCD的體積；

（2）證明：四邊形EFGH是矩形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面BDC，即可求四面體ABCD的體積；（Ⅱ）證明四邊形EFGH是平行四邊形，EF⊥HG，即可證明四邊形EFGH是矩形

試題解析：（1）由該四面體的三視圖可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，

BD=DC=2，AD=1，

∴AD⊥平面BDC．

∴四面體體積

V=××2×2×1=

（2）證明：∵BC∥平面EFGH，

平面EFGH∩平面BDC=FG，

平面EFGH∩平面ABC=EH，

∴BC∥FG，BC∥EH．∴FG∥EH．

同理EF∥AD，HG∥AD，

∴EF∥HG．

∴四邊形EFGH是平行四邊形．

又∵AD⊥平面BDC，

∴AD⊥BC．∴EF⊥FG．

∴四邊形EFGH是矩形．