Question

15．設(shè)點(diǎn)A₁、A₂分別為橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)P使得${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3，則橢圓C的離心率的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• C． （0，$\frac{2}{3}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意設(shè)P（bsinα，acosα），求出${k}_{P{A}_{1}}$，${k}_{P{A}_{2}}$，結(jié)合${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3及隱含條件列式求得橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（bsinα，acosα），A₁（0，-a），A₂（0，a）．
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{acosα+a}{bsinα}，{k}_{P{A}_{2}}=\frac{acosα-a}{bsinα}$，
由${k}_{P{A}_{1}}$•${k}_{P{A}_{2}}$＞-3，得$\frac{{a}^{2}（co{s}^{2}α-1）}{^{2}si{n}^{2}α}$＞-3，
即$-\frac{{a}^{2}si{n}^{2}α}{^{2}si{n}^{2}α}＞-3$，∴$\frac{{a}^{2}}{^{2}}＜3$，
則a²＜3（a²-c²），∴2a²＞3c²，
得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}＜\frac{2}{3}$，即e∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查由兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率公式，正確設(shè)出p的坐標(biāo)是求解本題的關(guān)鍵，是中檔題．