Question

6．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），正三角形PQR的頂點R在C的左準(zhǔn)線l上，P、Q在橢圓上，且線段PQ經(jīng)過左焦點F₁，K_PQ=1．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）橢圓上是否存在關(guān)于直線PQ對稱的兩點，請說明理由；
（3）設(shè)H為橢圓上一動點，K是x正半軸上一定點，滿足OA=3OK（A為橢圓右頂點），當(dāng)HK+HF₁的最大值為5+$\sqrt{6}$時，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)左焦點F₁（-c，0），右焦點F₂（c，0），直線PQ的方程為y=x+c，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和弦長公式，再由中點坐標(biāo)公式，可得PQ的垂直平分線方程，求得R的坐標(biāo)，由點到直線的距離公式可得R到PQ的距離，由等邊三角形的性質(zhì)，可得方程，即可得到a，c的關(guān)系，即可得到離心率；
（2）由（1）中的垂直平分線方程，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，代入PQ的方程，檢驗是否為中點，即可判斷存在性；
（3）運用橢圓的定義可得HK+HF₁=HK+2a-HF₂=2a-（HF₂-HK）≤2a+KF₂，當(dāng)H，K，F(xiàn)₂在x軸上，且H為右頂點時，取得最大值，再由離心率，計算即可得到a，b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：（1）設(shè)左焦點F₁（-c，0），右焦點F₂（c，0），
直線PQ的方程為y=x+c，
代入橢圓方程b²x²+a²y²=a²b²，可得
（b²+a²）x²+2ca²x+a²c²-a²b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{2c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{4{c}^{2}{a}^{4}}{（{a}^{2}+^{2}）^{2}}-\frac{4{a}^{2}（{c}^{2}-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
PQ的中點為（-$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，$\frac{c^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$），
可得PQ的垂直平分線方程為y-$\frac{c^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=-（x+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$），
即為y=-x-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+^{2}}$，
令x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，則y=$\frac{{a}^{2}}{c}$-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+^{2}）}$，
即為R（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+^{2}）}$），
R到直線PQ的距離為d=$\frac{|-\frac{{a}^{2}}{c}+c-\frac{^{2}（{c}^{2}+2{a}^{2}）}{c（{a}^{2}+^{2}）}|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{\sqrt{2}c（{a}^{2}+^{2}）}$，
由△PQR為等邊三角形，可得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|PQ|，
即有$\frac{4{a}^{2}^{2}}{\sqrt{2}c（{a}^{2}+^{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{4a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
化簡可得$\sqrt{6}$c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）設(shè)a=3t，由離心率可得c=$\sqrt{6}$t，b=$\sqrt{3}$t，t＞0，
由（1）可得，PQ的垂直平分線方程為y=-x-$\frac{{c}^{3}}{{a}^{2}+^{2}}$，
即為y=-x-$\frac{\sqrt{6}}{2}$t，
代入橢圓方程x²+3y²=9t²，可得4x²+3$\sqrt{6}$tx-$\frac{9{t}^{2}}{2}$=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$，弦的中點為（-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$t），
代入直線PQ，可得$\frac{\sqrt{6}}{4}$t=-$\frac{3\sqrt{6}t}{4}$+$\sqrt{6}$t，方程成立．
故橢圓上存在關(guān)于直線PQ對稱的兩點；
（3）由OA=3OK，可得K（$\frac{1}{3}$a，0），F(xiàn)₂（c，0），
由橢圓的定義可得，HK+HF₁=HK+2a-HF₂=2a-（HF₂-HK）
≤2a+KF₂=2a+c-$\frac{1}{3}$a=c+$\frac{5a}{3}$，
當(dāng)H，K，F(xiàn)₂在x軸上，且H為右頂點時，取得最大值c+$\frac{5a}{3}$，
即有c+$\frac{5a}{3}$=5+$\sqrt{6}$，又$\sqrt{6}$c=2a，
解得c=$\sqrt{6}$，a=3，b=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查橢圓的方程和離心率的求法，注意運用直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達(dá)定理和弦長公式，同時考查點關(guān)于直線的對稱的求法，以及三點共線時取最值的方法，考查化簡整理的運算能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題．