Question

如圖，四棱錐S-ABCD的所有棱長均為1米，一只小蟲從S點(diǎn)出發(fā)沿四棱錐爬行，若在每頂點(diǎn)處選擇不同的棱都是等可能的．設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點(diǎn)的概率為P_n（n≥2，n∈N）．
（1）求P₂，P₃的值；
（2）求證：3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）；
（3）求證：P₂+P₃+…+P_n＞

6n-5

24

（n≥2，n∈N）．

Answer 1

分析：（1）利用分布計(jì)數(shù)原理求出小蟲爬行2米所有的方法數(shù)，求出小蟲爬2米后恰回到S點(diǎn)的方法數(shù)，利用古典概型概率公式求出概率，
（2）利用對立事件的概率公式求出P_n，P_n+1的遞推關(guān)系，
（3）有（2）中P_n，P_n+1的遞推關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出P_n的通項(xiàng)，通過分組利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出和．

解答：解：（1）P₂表示從S點(diǎn)到A（或B、C、D），然后再回到S點(diǎn)的概率，所以P₂=4×

1

4×3

=

1

3

；
因?yàn)閺腟點(diǎn)沿一棱爬行，不妨設(shè)為沿著SA棱再經(jīng)過B或D，然后再回到S點(diǎn)的概率為

1

4×3×3

×2=

1

18

，
所以P₃=

1

18

×4=

2

9

．
（2）證明：設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點(diǎn)的概率為P_n，
那么1-P_n表示爬行n米后恰好沒回到S點(diǎn)的概率，
則此時(shí)小蟲必在A（或B、C、D）點(diǎn)，所以

1

3

×（1-P_n）=P_n+1，即3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）．
（3）證明：由3P_n+1+P_n=1，得(pn+1-

1

4

)=-

1

3

(pn-

1

4

)，
從而P_n=

1

4

+

1

12

(-

1

3

)n-2（n≥2，n∈N）．
所以P₂+P₃+…+P_n=

n-1

4

+

1

12

[

1-(- 1 3 )n-1

1+ 1 3

]
=

n-1

4

+

1

16

[1-(-

1

3

)n-1]
=

n-1

4

+

1

16

×

2

3

+

1

16

[

1

3

-(-

1

3

)n-1]＞

6n-5

24

．

點(diǎn)評：本題考查古典概型概率公式、構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式