Question

14．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AA₁=AC=2AB，M是CC₁的中點(diǎn)，N是棱AC上的點(diǎn)，且$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow{BM}，|{\overrightarrow{{A_1}N}}|=2\sqrt{5}$，求三棱錐A₁-ABN的體積．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，AN=b，求出$\overrightarrow{{A}_{1}N}$和$\overrightarrow{BM}$的坐標(biāo)，列出方程組求出a，b的值，代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AC，AB，AA₁所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
設(shè)AB=a，AN=b，則A₁（0，0，2a），B（0，a，0），N（b，0，0），M（2a，0，a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}N}$=（b，0，-2a），$\overrightarrow{BM}$=（2a，-a，a），
∵$\overrightarrow{{A_1}N}⊥\overrightarrow{BM}，|{\overrightarrow{{A_1}N}}|=2\sqrt{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2ab-2{a}^{2}=0}\\{^{2}+4{a}^{2}=20}\end{array}\right.$，解得a=b=2，
∴V${\;}_{{A}_{1}-ABN}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABN}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了棱錐的體積計算，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．