Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足a_n＞0，2S_n=a_n²+n（n∈N*）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜測數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明；
（3）求證：…．

Answer 1

解：（1）分別令n=1，2，3，得
∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的結(jié)論：猜想a_n=n
1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立；
2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=k．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）?[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
故對(duì)于n∈N*，均有a_n=n．
（3）當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然成立．
當(dāng)n≥3時(shí)，…=……
=．
分析：（1）分別令n=1，2，3，列出方程組，能夠求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入中，利用放縮法即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意各種不同解法的應(yīng)用，平時(shí)做題時(shí)多嘗試一題多解能夠有效地提高解題能力．屬中檔題．