Question

在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對邊．向量

m

=（2，0），

n

=（sinB，1-cosB）
（Ⅰ）若B=

π

3

．求

m

•

n

（Ⅱ）若

m

與

n

所成角為

π

3

．求角B的大小．

Answer 1

分析：（I）若B=

π

3

，則

n

=（

3

2

，

1

2

）．再利用向量數(shù)量積的公式，即可算出

m

•

n

的值．
（II）由平面向量的夾角公式，結(jié)合題意建立關(guān)于sinB、cosB的等式，平方整理為關(guān)于cosB的一元二次方程，解之得cosB=-

1

2

，再結(jié)合B為三角形的內(nèi)角，可得角B的大�。�

解答：解：（I）∵B=

π

3

，∴

n

=（sin

π

3

，1-cos

π

3

）=（

3

2

，

1

2

）
∵

m

=（2，0），
∴

m

•

n

=2×

3

2

+0×

1

2

=

3

；
（II）由題意，可得
∵

m

與

n

所成角為

π

3

，
∴cos

π

3

=

m • n

| m |•| n |

=

2sinB

2 sin2B+(1-cosB)2

=

1

2

，
即

2sinB

2-2cosB

=

1

2

，平方整理得2sin²B=1-cosB，即2cos²B-cosB-1=0，
解之得cosB=-

1

2

或cosB=1（舍去），
∵0＜B＜π，∴B=

2π

3

．

點(diǎn)評：本題給出向量含有三角函數(shù)式的坐標(biāo)，在已知向量的夾角情況下求角B的大�。�著重考查了平面向量的數(shù)量積公式、向量的夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等知識，屬于中檔題．