Question

如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求AP：PM的值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意把

BM

=

e1

，

CN

=

e2

，作為該平面的一組基底，根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則及共線向量定理分別表示出

AM

，

AP

，即可求得AP：PM的值．

解答：解：設(shè)

BM

=

e1

，

CN

=

e2

，
則

AM

=

AC

+

CM

=-3

e2

-

e1

，

BN

=2

e1

+

e2

∵A、P、M和B、P、N分別共線，
∴存在實(shí)數(shù)λ、μ使

AP

=λ

AM

=-λ

e1

-3λ

e2

，

BP

=μ

BN

=2μ

e1

+μ

e2

，
故

BA

=

BP

-

AP

=（λ+2μ）

e1

+（3λ+μ）

e2

．
而

BA

=

BC

+

CA

=2

e1

+3

e2

∴

λ+2μ=2 3λ+μ=3

解得

λ= 4 5 μ= 3 5

故

AP

=

4

5

AM

，即AP：PM=4：1．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查向量加法的三角形法則和共線向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封閉圖形中求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法．