Question

7．當(dāng)x∈[-2，0）時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是a≤-2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，把不等式ax³-x²+4x+3≥0化為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$在x∈[-2，0）上的最小值f（x）_min，即可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：x∈[-2，0）時，不等式ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，
設(shè)f（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{{x}^{3}}$，x∈[-2，0），
則f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{8}{{x}^{3}}$+$\frac{9}{{x}^{4}}$=-$\frac{{x}^{2}-8x-9}{{x}^{4}}$，
令f′（x）=0，解得x=-1或x=9（不合題意，舍去）；
當(dāng)-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
所以，f（x）_min=f（-1）=-2，
所以a≤-2；
即實數(shù)a的取值范圍是a≤-2．
故答案為：a≤-2．

點評 本題考查了用構(gòu)造函數(shù)法求不等式中參數(shù)取值范圍的應(yīng)用問題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的應(yīng)用問題，是綜合性題目．