Question

12．F（1，0）為一定點(diǎn)，P（0，b）是y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，x軸上的點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，若點(diǎn)N滿足2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0，求：
（1）點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程；
（2）曲線C的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡．

Answer 1

分析 （1）由2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0可知M，N關(guān)于點(diǎn)P對稱，設(shè)N（x，y）得出M點(diǎn)坐標(biāo)，求得$\overrightarrow{PM}$，$\overrightarrow{PN}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式整理得出軌跡方程；
（2）設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），切線斜率為k，聯(lián)立方程組消元，令判別式△=0得出關(guān)于k的方程，根據(jù)切線垂直和根與系數(shù)的關(guān)系得到x₀，y₀的關(guān)系，即軌跡方程．

解答 解：（1）∵2$\overrightarrow{PN}$+$\overrightarrow{NM}$=0，∴點(diǎn)M，N關(guān)于點(diǎn)P對稱，
設(shè)N（x，y），則M（-x，2b-y），∵M(jìn)在x軸上，∴y=2b，即b=$\frac{y}{2}$．
$\overrightarrow{PM}$=（-x，-b），$\overrightarrow{PF}$=（1，-b），∵$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PF}$=0，∴-x+b²=0，∴-x+$\frac{{y}^{2}}{4}$=0，即y²=4x．
∴點(diǎn)N的軌跡曲線C的方程是y²=4x．
（2）設(shè)曲線C的兩條互相垂直的垂線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），切線的斜率為k，則切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{0}=k（x-{x}_{0}）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消元得：$\frac{k}{4}$y²-y+y₀-kx₀=0，
∴△=1-k（y₀-kx₀）=0，即x₀k²-y₀k+1=0．∴k₁k₂=$\frac{1}{{x}_{0}}$=-1，∴x₀=-1．
曲線C的任何兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡是直線x=-1．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，軌跡方程的求解，屬于中檔題．