若函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a的最大值為1．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，再根據(jù)最大值為1，求得a的值．
（2）由題意可得，sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，所以
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
≤
5π
6
+2kπ，k∈z，解不等式求得x的取值集合．
解答：解：（1）f(x)=2
3
sinxcosx+2cos2x+a=
3
sin2x+(2cos2x-1)+a+1…（2分）
=
3
sin2x+cos2x+a+1=2sin(2x+
π
6
)+a+1…（5分）
所以f（x）max=a+3=1，得a=-2．…（7分）
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x+
π
6
)-1，因為f（x）≥0，所以，sin(2x+
π
6
)≥
1
2
，…（9分）
所以
π
6
+2kπ≤2x+
π
6
≤
5π
6
+2kπ，…（12分）
即kπ≤x≤
π
3
+kπ，所以滿足條件的x的取值集合為{x|kπ≤x≤
π
3
+kπ，k∈Z}．…（14分）
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
ax，x＞1
(2-3a)x+1，x≤1
是R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
6
)+sin(ωx-
π
6
)+cosωx（其中ω為大于0的常數(shù)），若函數(shù)f(x)在[-
π
2
，
π
2
]上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是
(0，
2
3
]
(0，
2
3
]
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2
3
+
1
x
(x＞0)，數(shù)列{an}滿足a1=1，an=f(
1
an-1
)，n∈N*且n≥2．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）對n∈N*，設(shè)Sn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+
1
a3a4
+…+
1
anan+1
，若Sn≥
3t
4n
恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

記min{p，q}=
p，p≤q
q．p＞q
．
（1）若函數(shù)f(x)=min{
x
，
2
3
(x-1)}，求f（x）表達式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，對所有實數(shù)x成立的充分必要條件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2為實數(shù)，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度和（閉區(qū)間[m，n]的長度定義為n-m）．

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