【題目】已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形,是等腰直角三角形.把沿其斜邊翻折到,使,設(shè)為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解;(2).
【解析】
(1)取中點(diǎn),由勾股定理可得,又是等腰直角三角形,可證,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果;
(2)方法一:由(1)知,、、兩兩垂直,分別以、、為、、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求二面角,即可求出結(jié)果;
解法二:等積法
在和中,分別用余弦定理得:中線長(zhǎng), ,又勾股定理可證①;在中解得,在平面內(nèi)過(guò)作②,由等積法得,于是.由①②得、所成的角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角,再根據(jù)余弦定理即可求出結(jié)果.
(1)證明:取中點(diǎn),連、,由已知易得,,于是,從而,另一方面,是等腰直角三角形,故,且、相交,所以平面,于是平面平面;
(2)由(1)知,、、兩兩垂直,分別以、、為、、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得,,,,.于是,,,,設(shè)平面的法向量是,則解得,
所以,同理平面的法向量,
設(shè)二面角為,則.
(2)解法二:等積法
由于為的中點(diǎn),且設(shè),在和中,分別用余弦定理得:中線長(zhǎng),同理,從而是直角三角形,且①.另一方面在中解得,在平面內(nèi)過(guò)作②,由等積法得,于是.由①②得、所成的角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角.由,得,設(shè)二面角的度數(shù)為,于是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,底面,點(diǎn)分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角的正弦值為?若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,梯形中,,過(guò)分別作,,垂足分別,,已知,將梯形沿同側(cè)折起,得空間幾何體 ,如圖.
1若,證明:平面;
2若,,線段上存在一點(diǎn),滿足與平面所成角的正弦值為,求的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐C﹣ABNM中,四邊形ABNM的邊長(zhǎng)均為2,△ABC為正三角形,MB,MB⊥NC,E,F分別為MN,AC中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:MB⊥AC;
(Ⅱ)求直線EF與平面MBC所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某省開展“精準(zhǔn)脫貧,攜手同行”的主題活動(dòng),某貧困縣統(tǒng)計(jì)了100名基層干部走訪貧困戶的數(shù)量,并將走訪數(shù)量分成5組,統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)下表.
走訪數(shù)量區(qū)間 | 頻數(shù) | 頻率 |
b | ||
10 | ||
38 | ||
a | 0.27 | |
9 | ||
總計(jì) | 100 | 1.00 |
(1)求a與b的值;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計(jì)這100名基層干部走訪數(shù)量的中位數(shù)(精確到個(gè)位);
(3)如果把走訪貧困戶不少于35戶視為“工作出色”,按照分層抽樣,從“工作出色”的基層干部中抽取4人,再?gòu)倪@4人中隨機(jī)抽取2人,求其中有1人走訪貧困戶不少于45戶的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(k為常數(shù),且).
(1)在下列條件中選擇一個(gè)________使數(shù)列是等比數(shù)列,說(shuō)明理由;
①數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列;
②數(shù)列是首項(xiàng)為4,公差為2的等差數(shù)列;
③數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列.
(2)在(1)的條件下,當(dāng)時(shí),設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)為2的等邊和有一內(nèi)角為的直角所在半平面構(gòu)成的二面角,則下列不可能是線段的取值的是( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合={1,2,3,…,n}(其中n≥3,n),將的所有3元子集(含有3個(gè)元素的子集)中的最小元素的和記為.
(1)求,,的值;
(2)試求的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】華為手機(jī)作為全球手機(jī)銷量第二位,一直深受消費(fèi)者喜歡.據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示,2019年度華為手機(jī)(含榮耀)在中國(guó)市場(chǎng)占有率接近!小明為了考查購(gòu)買新手機(jī)時(shí)選擇華為是否與年齡有一定關(guān)系,于是隨機(jī)調(diào)查100個(gè)2019年購(gòu)買新手機(jī)的人,得到如下不完整的列表.定義30歲以下為“年輕用戶”,30歲以上為“非年輕用戶”.
購(gòu)買華為 | 購(gòu)買其他 | 總計(jì) | |
年輕用戶 | 28 | ||
非年輕用戶 | 24 | 60 | |
總計(jì) |
附:.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(1)將列表填充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為購(gòu)買手機(jī)時(shí)選擇華為與年齡有關(guān)?
(2)若采用分層抽樣的方法從購(gòu)買華為手機(jī)用戶中抽出6個(gè)人,再隨機(jī)抽2人,求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶的概率.
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