【題目】已知是邊長為2的正三角形，是等腰直角三角形.把沿其斜邊翻折到，使，設為的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點，由勾股定理可得，又是等腰直角三角形，可證，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結果；

（2）方法一：由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角，即可求出結果；

解法二：等積法

在和中，分別用余弦定理得：中線長， ，又勾股定理可證①；在中解得，在平面內過作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補角）就是二面角的平面角，再根據(jù)余弦定理即可求出結果.

（1）證明：取中點，連、，由已知易得，，于是，從而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以平面，于是平面平面；

（2）由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，由已知得，，，，.于是，，，，設平面的法向量是，則解得，

所以，同理平面的法向量，

設二面角為，則.

（2）解法二：等積法

由于為的中點，且設，在和中，分別用余弦定理得：中線長，同理，從而是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面內過作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補角）就是二面角的平面角.由，得，設二面角的度數(shù)為，于是.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點分別為，的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，梯形中，，過分別作，，垂足分別，，已知，將梯形沿同側折起，得空間幾何體 ，如圖．

1若，證明：平面；

2若，，線段上存在一點，滿足與平面所成角的正弦值為，求的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐C﹣ABNM中，四邊形ABNM的邊長均為2，△ABC為正三角形，MB，MB⊥NC，E，F分別為MN，AC中點．

（Ⅰ）證明：MB⊥AC；

（Ⅱ）求直線EF與平面MBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某省開展“精準脫貧，攜手同行”的主題活動，某貧困縣統(tǒng)計了100名基層干部走訪貧困戶的數(shù)量，并將走訪數(shù)量分成5組，統(tǒng)計結果見下表.

走訪數(shù)量區(qū)間

頻數(shù)

頻率

b

10

38

a

0.27

9

總計

100

1.00

（1）求a與b的值；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這100名基層干部走訪數(shù)量的中位數(shù)（精確到個位）；

（3）如果把走訪貧困戶不少于35戶視為“工作出色”，按照分層抽樣，從“工作出色”的基層干部中抽取4人，再從這4人中隨機抽取2人，求其中有1人走訪貧困戶不少于45戶的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（k為常數(shù)，且）．

（1）在下列條件中選擇一個________使數(shù)列是等比數(shù)列，說明理由；

①數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；

②數(shù)列是首項為4，公差為2的等差數(shù)列；

③數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列的前n項和構成的數(shù)列．

（2）在（1）的條件下，當時，設，求數(shù)列的前n項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】邊長為2的等邊和有一內角為的直角所在半平面構成的二面角，則下列不可能是線段的取值的是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設集合＝{1，2，3，…，n}(其中n≥3，n)，將的所有3元子集（含有3個元素的子集）中的最小元素的和記為.

（1）求，，的值；

（2）試求的表達式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】華為手機作為全球手機銷量第二位，一直深受消費者喜歡.據(jù)調查數(shù)據(jù)顯示，2019年度華為手機（含榮耀）在中國市場占有率接近！小明為了考查購買新手機時選擇華為是否與年齡有一定關系，于是隨機調查100個2019年購買新手機的人，得到如下不完整的列表.定義30歲以下為“年輕用戶”，30歲以上為“非年輕用戶”.

購買華為

購買其他

總計

年輕用戶

28

非年輕用戶

24

60

總計

附：.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

（1）將列表填充完整，并判斷是否有的把握認為購買手機時選擇華為與年齡有關？

（2）若采用分層抽樣的方法從購買華為手機用戶中抽出6個人，再隨機抽2人，求恰好抽到的兩人都是非年輕用戶的概率.

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