【題目】如圖,在四棱錐CABNM中,四邊形ABNM的邊長均為2,△ABC為正三角形,MB,MBNCE,F分別為MN,AC中點(diǎn).

(Ⅰ)證明:MBAC

(Ⅱ)求直線EF與平面MBC所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ)連接AN,由題意可得,結(jié)合,利用線面垂直的判定可得平面,利用線面垂直的性質(zhì)即可得證;

(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)G,連接FGNG,MG,證明MGEF相交,記交點(diǎn)為O,則OMGEF的中點(diǎn).則直線EF與平面MBC所成角,就是FO與平面MBC所成角,記為θ.由已知求解三角形可得OF,記F到平面MBC的距離為h,利用等體積法求得h,則,即可得解.

(Ⅰ)證明:連接AN,∵四邊形ABNM的邊長均為2,∴,

,且,∴平面,

平面,∴;

(Ⅱ)取BC的中點(diǎn)G,連接FG,NG,MG,

顯然,且,即,

MGEF相交,

記交點(diǎn)為O,則OMGEF的中點(diǎn).

∴直線EF與平面MBC所成角,就是FO與平面MBC所成角,記為θ,

由(Ⅰ)知,又為正三角形,∴,且

,∴平面MBF,而平面MBF,

,得,

,,∴,

平面ABC,又平面ABC ,,

,可得

,

F到平面MBC的距離為h,

中,∵,,∴,

,得

.

所以直線EF與平面MBC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)()的檢測(cè)數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:

空氣質(zhì)量

優(yōu)

輕度污染

中度污染

重度污染

嚴(yán)重污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

20

1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于,的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率.

2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為,,,,9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為元,求的分布列;

ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過2.88萬元?說明你的理由.

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A. 15名志愿者身高的極差小于臂展的極差

B. 15名志愿者身高和臂展成正相關(guān)關(guān)系,

C. 可估計(jì)身高為190厘米的人臂展大約為189.65厘米,

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