Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0）對(duì)任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（0，

1

2

]

．

Answer 1

分析：確定函數(shù)f（x）、g（x）在[-1，2]上的值域，根據(jù)對(duì)任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀），可g（x）值域是f（x）值域的子集，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²-2x的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，且關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)
∴x₁∈[-1，2]時(shí)，f（x）的最小值為f（1）=-1，最大值為f（-1）=3，
可得f（x₁）值域?yàn)閇-1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-1，2]，
∴g（x）為單調(diào)增函數(shù)，g（x₂）值域?yàn)閇g（-1），g（2）]
即g（x₂）∈[2-a，2a+2]
∵對(duì)任意的x₁∈[-1，2]都存在x₀∈[-1，2]，使得g（x₁）=f（x₀）
∴

2-a≥-1 2a+2≤3 a＞0

，∴0＜a≤

1

2

故答案為：（0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是對(duì)“任意”、“存在”的理解．