Question

求和S_n=1+2x+3x²+…+nx^n-1.

Answer 1

解：(1)當(dāng)x=0時(shí)，S_n=1.

(2)當(dāng)x=1時(shí)，S_n=1+2+3+…+n=.

(3)當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，a_n=nx^n-1可看成是由一個(gè)等差數(shù)列b_n=n和一個(gè)等比數(shù)列c_n=x^n-1的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘得到的一個(gè)新的數(shù)列，進(jìn)而想到用錯(cuò)位相減法求它的前n項(xiàng)和S_n.

∵S_n=1+2x+3x²+…+(n-1)x^n-2+nx^n-1,

∴xS_n=x+2x²+3x³+…+(n-1)x^n-1+nxⁿ.

∴(1-x)S_n=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=-nxⁿ.

∵x≠1,

∴S_n=.

綜上，S_n=