Question

15．如圖，在平面直角坐標系xoy中，A為以原點O為圓心的單位圓O與x正半軸的交點，在圓心角為$\frac{π}{3}$的扇形AOB的弧AB上任取一點 P，作 PN⊥OA于N，連結(jié)PO，記∠PON=θ．
（1）設(shè)△PON的面積為y，使y取得最大值時的點P記為E，點N記為F，求此時$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$的值；
（2）求k=a|$\overrightarrow{PN}$|•|$\overrightarrow{ON}$|+$\sqrt{2}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OE}$（a∈R，E 是在（1）條件下的點 E）的值域．

Answer 1

分析 （1）用θ表示出PN，ON，得出y關(guān)于θ的函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出y最大時對應(yīng)的θ值，從而求出E，F(xiàn)的坐標，再計算$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$；
（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，得出k關(guān)于t的函數(shù)，討論a的取值與函數(shù)單調(diào)性，得出k的值域．

解答 解：（1）ON=cosθ，PN=sinθ，
∴y=$\frac{1}{2}$cosθsinθ=$\frac{1}{4}$sin2θ，
∵0$＜θ≤\frac{π}{3}$，
∴當$θ=\frac{π}{4}$時，y取得最大值，此時E（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{OF}$=$\frac{1}{2}$．
（2）$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OE}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinθ+cosθ），
∴k=asinθcosθ+sinθ+cosθ，
令sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）=t，則sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∵0$＜θ≤\frac{π}{3}$，∴$\frac{π}{4}＜$$θ+\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴1＜t$≤\sqrt{2}$，
∴k=a•$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{a}{2}{t}^{2}+t-\frac{a}{2}$，
令f（t）=$\frac{a}{2}{t}^{2}+t-\frac{a}{2}$，
①若a=0，則f（t）=t，∴f（t）的值域為（1，$\sqrt{2}$]；
②若a＞0，則f（t）的對稱軸為直線x=-$\frac{1}{a}$＜0，
∴f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
∴f（1）＜f（t）≤f（$\sqrt{2}$），即f（t）的值域為（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
③若a＜0，則f（t）的圖象開口向下，
若-$\frac{1}{a}$≤1，即a≤-1時，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（t）的值域為[$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$，1）；
若-$\frac{1}{a}$≥$\sqrt{2}$，即-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜0時，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上單調(diào)遞增，
∴f（t）的值域為（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
若1＜-$\frac{1}{a}$$＜\sqrt{2}$，即-1$＜a＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（t）在（1，$\sqrt{2}$]上先增后減，
∴f（t）的最大值為f（-$\frac{1}{a}$）=$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$，
若1$＜-\frac{1}{a}$＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，即-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$時，則f（t）的最小值為f（$\sqrt{2}$）=$\frac{a}{2}+\sqrt{2}$，
若$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$≤-$\frac{1}{a}$$＜\sqrt{2}$，即2-2$\sqrt{2}$≤a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$則f（t）的最小值為f（1）=1，
綜上，當a=0時，f（t）的值域為（1，$\sqrt{2}$]；
當a≤-1時，k的值域是[$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$，1）；
當a＞-$\frac{\sqrt{2}}{2}$且a≠0時，k的值域是（1，$\frac{a}{2}$+$\sqrt{2}$]；
-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$時，k的值域是[$\frac{a}{2}+\sqrt{2}$，$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$]；
當2-2$\sqrt{2}$≤a＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，k的值域是（1，$\frac{-{a}^{2}-1}{2a}$]．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，二次函數(shù)的單調(diào)性與值域計算，屬于中檔題．