Question

【題目】已知橢圓，焦距為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若一直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是橢圓的頂點(diǎn)），以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線過(guò)定點(diǎn)．

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的焦距求出的值，進(jìn)而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，根據(jù)以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，得，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，并代入韋達(dá)定理，可得出與所滿足的等式，即可得出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)橢圓的焦距為，有，，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，

得，有，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由方程組，得，

即．

，即．

設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

則，，，

．

以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)，，即，

即，

化簡(jiǎn)得，或．

當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾．

當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)直線為過(guò)定點(diǎn).

直線過(guò)定點(diǎn)．