Question

（1）求函數(shù)f（x）=cos²（ax+b）的導(dǎo)函數(shù)；
（2）證明：若函數(shù)f（x）可導(dǎo)且為周期函數(shù)，則f′（x）也為周期函數(shù)．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,函數(shù)的周期性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用倍角公式降冪，然后利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得答案；
（2）函數(shù)f（x）可導(dǎo)且為周期函數(shù)，則存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），兩邊對x求導(dǎo)數(shù)即可證明f′（x）也為周期函數(shù)．

解答： （1）解：由f（x）=cos²（ax+b）=

1

2

+

1

2

cos(2ax+2b)，得
f′(x)=-

1

2

sin(2ax+2b)•(2ax+2b)′=-asin（2ax+2b）；
（2）證明：函數(shù)f（x）可導(dǎo)且為周期函數(shù)，則存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），
兩邊對x求導(dǎo)得f'（x+a）=f'（x），
∴以f'（x）是以a為周期的周期函數(shù)．

點評：本題考查了對數(shù)的運(yùn)算，考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，考查了簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是基礎(chǔ)題．