Question

4．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（這一問不必求出m）
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，f（x）的最小值是-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及二倍角公式和輔助角公式，即可得解函數(shù)f（x）的解析式；
（2）結(jié)合角的范圍即正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得f（x）的最小值為-m²=-4，即可得到m的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，m+cosx），$\overrightarrow$=（cosx，-m+cosx），且f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x-m²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$-m²
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-m²，
（2）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
即有x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
可得f（x）的最小值為-m²=-4，可得m=±2；

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查正弦函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用二倍角公式和輔助角公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．