Question

已知拋物線C：y=x²+4x+

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，過拋物線C上點(diǎn)M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點(diǎn)M的法線．
（1）若拋物線C在點(diǎn)M的法線的斜率為-

1

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，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，y₀）；
（2）設(shè)P（-2，4）為C對稱軸上的一點(diǎn)，在C上一定存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P．試求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程．

Answer 1

分析：（1）由切線和法線垂直，則其斜率之積等于-1，可得M處的切線的斜率k=2，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合已知即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）分x₀=-2和x₀≠-2兩種情況討論，若x₀=-2，則C上點(diǎn)M(-2，-

1

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)處的切線斜率k=0，若x₀≠-2，則過點(diǎn)M（x₀，y₀）的法線方程為：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．分別求得法線方程即可．

解答：解：（1）函數(shù)y=x2+4x+

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的導(dǎo)數(shù)y′=2x+4，點(diǎn)（x₀，y₀）處切線的斜率k₀=2x₀+4、
∵過點(diǎn)（x₀，y₀）的法線斜率為-

1

2

，∴-

1

2

（2x₀+4）=-1，解得x₀=-1，y0=

1

2

．故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，

1

2

）．
2設(shè)M（x₀，y₀）3為C上一點(diǎn)，
（2）若x₀=-2，則C上點(diǎn)M(-2，-

1

2

)處的切線斜率k=0，
過點(diǎn)M(-2，-

1

2

)的法線方程為x=-2，法線過點(diǎn)P（-2，4）；
若x₀≠-2，則過點(diǎn)M（x₀，y₀）的法線方程為：y-y0=-

1

2x0+4

(x-x0)．
若法線過點(diǎn)P（-2，4），則4-y0=-

1

2x0+4

(-2-x0)，
解得x₀=0，y0=

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，得x+4y-14=0，或者x₀=-4，y0=

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，得x-4y+18=0．
綜上，在C上有點(diǎn)（0，

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），（-4，

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2

）及(-2，-

1

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)，
在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P，法線方程分別為x+4y-14=0，x-4y+18=0，x=-2

點(diǎn)評：本題通過曲線的切線和法線問題，考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義，同時(shí)綜合運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．