Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+2（其中a為常數(shù)）有極大值18．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）過原點的切線與函數(shù)g（x）=b-lnx的圖象有兩個交點，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值點，根據(jù)極大值為18列出方程即可解得．
（Ⅱ）求出切線方程，利用數(shù)形結(jié)合思想把圖象的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，又函數(shù)f（x）有極大值，
∴令f′（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
∴f（x）在（-∞，-

a

），（

a

，+∞）上遞增，在（-

a

，

a

）上遞減，
∴f（x）_極大值=f（-

a

）=18，解得a=4．
（Ⅱ）設(shè)切點（x₀，x03-12x0+2），則切線斜率k=f′（x₀）=3x02-12，
所以切線方程為y-x03+12x0-2=（3x02-12）（x-x₀），
將原點坐標(biāo)代入得x₀=1，所以k=-9．
切線方程為y=-9x．
由

y=-9x y=b-lnx

得lnx-9x-b=0．
設(shè)h（x）=lnx-9x-b，
則令h′（x）=

1

x

-9=

1-9x

x

＞0，得0＜x＜

1

9

，
所以h（x）在（0，

1

9

）上遞增，在（

1

9

，+∞）上遞減，
所以h（x）_最大值=h（

1

9

）=-ln9-1-b．
若lnx-9x-b=0有兩個解，則h（x）_最大值＞0，
得b＜-ln9-1．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值問題，考查了用所學(xué)知識解決問題的能力，注意數(shù)形結(jié)合思想在本題中的運用．