Question

已知函數(shù)f（x）=x-x^-1．
（Ⅰ） 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)的定義域，并且判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再驗(yàn)證f（x）和f（-x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行判定即可；
（II）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明，即取值-作差-變形-判斷符號(hào)-下結(jié)論，從而得到單調(diào)性．

解答：解：（I）f（x）=x-x^-1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
f（-x）=-x+x^-1=-f（x）
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（II）任取x₁，x₂∈（0，+∞），不妨設(shè)x₁＜x₂，則有

f(x1)-f(x2)=x1- 1 x1 -(x2- 1 x2 ) =(x1-x2)+( 1 x2 - 1 x1 ) =(x1-x2)+( x1-x2 x1x2 ) =(x1-x2)(1+ 1 x1x2 ) = (x1-x2)(x1x2+1) x1x2

∵x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂+1＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的證明，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．