函數(shù)f(x)=
x-x3
1+2x2+x4
的最大值與最小值的積為
-
1
16
-
1
16
．
分析：由題意可得f（x）為奇函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)可得f′(x)=
(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)
(x2+1)4
=
x4-6x2+1
(x2+1)3
，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，只要先考慮x＞0時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)f（x）在（0，
2
-1]上單調(diào)遞增，在（
2
-1，
2
+1）上單調(diào)遞增，在[
2
+1，+∞）上單調(diào)遞增，且
lim
x→+∞
x-x3
x4+2x2+1
=
lim
x→+∞
1
x3
-
1
x
1+
2
x2
+
1
x4
=0，f(
2
-1)＞0，f(
2
+1)＜0可知f(x)max=f(
2
-1)，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可得f（x）min=-f（x）max，代入可求
解答：解：∵f(x)=
x-x3
1+2x2+x4

∴f（-x）=
x3-x
1+2x2+x4
=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)=
(1-3x2)(1+2x2+x4)(x-x3)(4x+4x3)
(x2+1)4
=
x4-6x2+1
(x2+1)3

令f′（x）＞0可得x4-6x2+1＞0，即0＜x＜
2
-1或x＞
2
+1
f′（x）＜0可得x4-6x2+1＜0，即
2
-1＜x＜
2
+1
∴f（x）在（0，
2
-1]上單調(diào)遞增，在（
2
-1，
2
+1）上單調(diào)遞增，在[
2
+1，+∞）上單調(diào)遞增
又∵
lim
x→+∞
x-x3
x4+2x2+1
=
lim
x→+∞
1
x3
-
1
x
1+
2
x2
+
1
x4
=0，f（0）=0
∵f(
2
-1)＞0，f(
2
+1)＜0
∴f(x)max=f(
2
-1)=
1
4
，f（x）min=-f（x）max=-
1
4

則最大值與最小值的積為
(
2
-1)[1-(
2
-1)2](
2
+1)[1-(
2
+1)2]  
[1+(
2
-1)2]2[1+(1+
2
)2]2
=-
1
16

故答案為：-
1
16
點(diǎn)評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，其中奇函數(shù)的對稱性的利用及函數(shù)最大值的位置判斷是解答本題的關(guān)鍵
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b，a、b為實(shí)數(shù)．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（a+1，f（a+1））處切線的斜率為12，求a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，且1＜a＜2，求函數(shù)f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

探究函數(shù)f（x）=x+
4
x
，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時(shí)x的值．列表如下：
x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
請觀察表中值y隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減；
函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間
（2，0）
（2，0）
上遞增．
當(dāng)x=
2
2
時(shí)，y最小=
4
4
．
證明：函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
思考：（直接回答結(jié)果，不需證明）
（1）函數(shù)f（x）=x+
4
x
（x＜0）有沒有最值？如果有，請說明是最大值還是最小值，以及取相應(yīng)最值時(shí)x的值．
（2）函數(shù)f（x）=ax+
b
x
，（a＜0，b＜0）在區(qū)間
[-
b
a
，0）
[-
b
a
，0）
 和
（0，
b
a
]
（0，
b
a
]
上單調(diào)遞增．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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