Question

3．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為矩形，平面CDD₁C₁⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點，求證：
（1）AD⊥CD；
（2）EF∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析 （1）利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理即可證明．
（2）利用已知條件證明四邊形AFEG是平行四邊形，從而根據(jù)EF∥AG即可證明EF∥平面ADD₁A₁．

解答 證明：（1）由底面ABCD為矩形可得AD⊥CD
又∵平面C₁D₁DC⊥平面ABCD，
平面C₁D₁DC∩平面ABCD平面=CD，
∴AD⊥平面C₁D₁DC．                                     
又∵CD₁?面C₁D₁DC，
∴AD⊥CD₁．                        
（2）設(shè)DD₁中點為G，連結(jié)EG，AG．
∵E，G分別為CD₁，DD₁的中點，
∴EG∥CD，EG=$\frac{1}{2}$CD．
在矩形ABCD中，
∵F是AB的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$CD且AF∥CD，
∴EG∥AF，且EG=AF．
∴四邊形AFEG是平行四邊形，
∴EF∥AG．
又∵AG?平面ADD₁A₁，EF?平面ADD₁A₁，
∴EF∥平面ADD₁A₁．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理，以及平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用．屬于中檔題．