Question

下列4個(gè)命題：
①函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù)；
②函數(shù)y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π
③函數(shù)y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），則f（x）的圖象自身關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
④對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)f′（x）＞g′（x）
其中正確命題的序號(hào)是

③④

．（填上所有正確命題的序號(hào)）．

Answer 1

分析：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷①的正誤；通過函數(shù)的周期判斷②的正誤；利用函數(shù)的對(duì)稱性判斷③的正誤；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系，同時(shí)注意到奇（偶）函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同（反），判斷④的正誤．

解答：解：對(duì)于①“函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù)”是假命題，比方說A=30°、B=390°，它們的終邊相同，雖然A＜B，但有sinA=sinB，說明函數(shù)f（x）=sinx在第一象限不是增函數(shù)，①不正確
對(duì)于②，函數(shù)y=|cosx+

1

2

|的最小正周期是π，因?yàn)?span id="y9f50tw" class="MathJye">y=cosx+

1

2

的周期是2π，所以y=|cosx+

1

2

|的周期也是2π，可以通過圖象看出，所以②不正確．
對(duì)于③，函數(shù)y=f（x），若f（1+2x）=f（1-2x），即f（1+x）=f（1-x），則f（x）的圖象自身關(guān)于直線x=1對(duì)稱；正確．
對(duì)于④，根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)；又由奇函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反，所以x＜0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＜0，所以f′（x）＞g′（x），故正確；
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，周期，函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．