如圖，B，C分別是∠A兩邊上的動點，在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=2，試求△ABC面積的最大值．
分析：（I）通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡表達式，求出A的大�。�
（II）通過余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求出面積的最大值．
解答：解：（I）因為3acosA=ccosB+bcosC，
由正弦定理可知3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，
即sin（B+C）=3sinAcosA，
在三角形中，B+C=π-A，∴sinA=3sinAcosA
∴cosA=
1
3
．
（II）∵a2=b2+c2-2bccosA，
∴
2
3
bc=b2+c2-4≥2bc-4
∴bc≤3，
∵cosA=
1
3

∴sinA=
2
2
3

∴S△ABC=
1
2
bcsinA≤
1
2
×3×
2
2
3
=
2

當且僅b=c=
3
時取等號
∴△ABC面積的最大值是
2
．
點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的面積的求法，考查計算能力．
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x2
3
-
y2
b2
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3+
3
3+
3
．

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如圖，B，C分別是∠A兩邊上的動點，在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC．
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