Question

8．如圖所示，BC是半圓O的直徑，AD⊥BC，垂足為D，$\widehat{AB}=\widehat{AF}$，BF與AD、AO分別交于點(diǎn)E、G．
（1）證明：∠DAO=∠FBC；
（2）證明：AE=BE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接FC，OF，利用$\widehat{AB}=\widehat{AF}$，說明OB=OF，然后證明∠AOB=∠FCB，推出∠DAO=∠FBC．
（Ⅱ）證明△OAD≌△OBG，推出OD=OG．然后證明△AGE≌△BDE，即可證明AE=BE．

解答 證明：（Ⅰ）連接FC，OF，∵$\widehat{AB}=\widehat{AF}$，OB=OF，∴點(diǎn)G是BF的中點(diǎn)，OG⊥BF．
因?yàn)锽C是⊙O的直徑，所以CF⊥BF．∴OG∥CF．∴∠AOB=∠FCB，…（6分）
∴∠DAO=90°-∠AOB，∠FBC=90°-∠FCB，∴∠DAO=∠FBC．…（8分）
（Ⅱ）在Rt△OAD與Rt△OBG中，由（Ⅰ）知∠DAO=∠GBO，
又OA=OB，所以，△OAD≌△OBG，于是OD=OG．
∴AG=OA-OG=OB-OD=BD．…（10分）
在Rt△AGE與Rt△BDE中，由于∠DAO=∠FBC，AG=BD，
所以，△AGE≌△BDE，因此，AE=BE．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的全等的證明，圓周角與幾何圖形的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．