Question

（2013•江西）正項數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n²-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b n=

n+1

(n+2)2an2

，數列{b_n}的前n項和為T_n．證明：對于任意n∈N^*，都有T n＜

5

64

．

Answer 1

分析：（I）由S_n²-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0可求s_n，然后利用a₁=s₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1可求a_n
（II）由b n=

n+1

(n+2)2an2

=

n+1

(n+2)2•4n2

=

1

16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，利用裂項求和可求T_n，利用放縮法即可證明

解答：解：（I）由S_n²-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0
可得，[sn-(n2+n)]（s_n+1）=0
∵正項數列{a_n}，s_n＞0
∴s_n=n²+n
于是a₁=s₁=2
n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，而n=1時也適合
∴a_n=2n
（II）證明：由b n=

n+1

(n+2)2an2

=

n+1

(n+2)2•4n2

=

1

16

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]
∴Tn=

1

16

[1-

1

32

+

1

22

-

1

42

+…+

1

(n-1)2

-

1

(n+1)2

+

1

n2

-

1

(n+2)2

]
=

1

16

[1+

1

4

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]
＜

1

16

(1+

1

4

)=

5

64

點評：本題主要考查了遞推公式a₁=s₁，n≥2時，a_n=s_n-s_n-1在求解數列的通項公式中的應用及數列的裂項求和方法的應用．