Question

命題p：?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）命題q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，若p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假,全稱命題

專題：簡易邏輯

分析：（1）若命題p為真命題，當(dāng)a=0時(shí)，直接驗(yàn)證；當(dāng)a≠0時(shí)，?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，則

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得即可．
（2）命題q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，利用基本不等式的性質(zhì)可得a＞(x+1)+

1

x+1

≥2，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．若p∨q為真，p∧q為假，
則p與q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：（1）若命題p為真命題，當(dāng)a=0時(shí)，化為3＞0，成立；當(dāng)a≠0時(shí)，?x∈R，不等式ax²-2ax+3＞0成立，則

a＞0 △=4a2-12a＜0

，解得0＜a＜3．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a＜3．
（2）命題q：?x＞-1，不等式x²+2x+2＜a（x+1）成立，∴a＞(x+1)+

1

x+1

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號．
∴a＞2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞2．
若p∨q為真，p∧q為假，
則p與q必然一真一假．
當(dāng)p真q假時(shí)，

0＜a＜3 a≤2

，解得0＜a≤2；
當(dāng)q真p假時(shí)，

a≤0或a≥3 a＞2

，解得a≥3．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，2]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．