Question

9．以下四個關于圓錐曲線的命題中：
①設A，B為兩個定點，k為正常數(shù)，|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|=k，則動點P的軌跡為橢圓；
②雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{35}$=1有相同的焦點；
③方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
④已知以F為焦點的拋物線y²=4x上的兩點A，B滿足$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則弦AB的中點P到準線的距離為$\frac{8}{3}$．
其中真命題的序號為③④．

Answer 1

分析 由題意定義判斷①；由圓錐曲線的標準方程判斷焦點所在坐標軸判斷②；求解方程判斷③；利用直線與拋物線的位置關系判斷④．

解答 解：對于①，當k=|AB|時，動點P的軌跡為線段AB，故①錯誤
對于②，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點在x軸上，而橢圓x²+$\frac{{y}^{2}}{35}$=1的焦點在y軸上，故②錯誤；
對于③，求解方程2x²-5x+2=0，得${x}_{1}=\frac{1}{2}$，x₂=2，
∴方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故③正確；
對于④，如圖：設BF=m，由拋物線的定義知，AA₁=3m，BB₁=m，
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，${k}_{AB}=\sqrt{3}$，直線AB方程為y=$\sqrt{3}$（x-1），
與拋物線方程聯(lián)立消y得3x²-10x+3=0，
AB中點到準線距離為$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+1=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$，故④正確．
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查了圓錐曲線的定義、方程及簡單性質，屬中檔題．