Question

10．過拋物線y²=6x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，則線段AB的中點M到y(tǒng)軸的距離為（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)BF=m，由拋物線的定義知AA₁和BB₁，進而可推斷出AC和AB，及直線AB的斜率，則直線AB的方程可得，與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而跟韋達定理求得x₁+x₂的值，則根據(jù)中點坐標公式求得弦AB的中點到y(tǒng)軸的距離．

解答 解：拋物線y²=6x的焦點F（$\frac{3}{2}$，0），準線l的方程為x=-$\frac{3}{2}$，
如圖，過A作AA₁⊥l于A₁，過B作BB₁⊥l于B₁，
過B作BC⊥AA₁于C，
設(shè)BF=m，若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，可得AF=3m，
由拋物線的定義可得，
AA₁=3m，BB₁=m，
直角△ABC中，AC=3m-m=2m，AB=3m+m=4m，
可得∠CBA=30°，
則k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，
直線AB方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{3}{2}$）
與拋物線方程y²=6x聯(lián)立，消y得3x²-15x+$\frac{27}{4}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=5，
所以AB中點到y(tǒng)軸的距離為$\frac{5}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了拋物線的定義、方程和簡單性質(zhì)．考查了直線與拋物線的關(guān)系及焦點弦的問題．常需要利用拋物線的定義來解決．