Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1．
（1）寫出a₁，a₂，a₃并推出的a_n表達式；
（2）用數(shù)學歸納法證明所得的結論．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1，分別令n=1，2，3，即可得出．
（2）由（1）猜想：${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$．利用數(shù)學歸納法證明即可得出．

解答 解：（1）當n=1時，S₁+a₁=2a₁=3，
∴${a_1}=\frac{3}{2}$，
當n=2時，S₂+a₂=a₁+a₂+a₂=5，
∴${a_2}=\frac{7}{4}$，
同樣令n=3，則可求出${a_3}=\frac{15}{8}$，
∴${a_1}=\frac{3}{2}$，${a_2}=\frac{7}{4}$，${a_3}=\frac{15}{8}$，
猜測${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$．
（2）證明：①由（1）已得當n=1時，命題成立；
②假設n=k時，命題成立，即${a_k}=2-\frac{1}{2^k}$，
當n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k+2a_k+1=2（k+1）+1，
且a₁+a₂+…+a_k=2k+1-a_k，
∴2k+1-a_k+2a_k+1=2（k+1）+1=2k+3，
∴$2{a_{k+1}}=2+2-\frac{1}{2^k}$，即${a_{k+1}}=2-\frac{1}{{{2^{k+1}}}}$，
即當n=k+1時，命題成立．
根據(jù)①②得n∈N⁺，${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$都成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．