已知函數(shù).

(I)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間

(Ⅱ)若不等式有解,求實(shí)數(shù)m的取值菹圍;

(Ⅲ)定義:對(duì)于函數(shù)在其公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),稱的值為兩函數(shù)在處的差值。證明:當(dāng)時(shí),函數(shù)在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2。

 

【答案】

(I) a=0時(shí),f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增;f(x)在上單調(diào)遞減.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)證明詳見解析.

【解析】

試題分析:(I)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后分類求出>0或<0的解集,最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì),得出結(jié)論即可.(Ⅱ)由已知可知有解,構(gòu)造函數(shù) ,求導(dǎo),利用基本不等式判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào),確定函數(shù) 的單調(diào)性,求出最大值即可.(Ⅲ) 首先確定公共定義域(0,+),,然后構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求出它們的單調(diào)性,極值點(diǎn)和極值,即可確定最值,求得

.

試題解析:(I)f(x)的定義域是(0,+),.

1.當(dāng)a=0時(shí),>0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;

2.當(dāng)a<0時(shí),由=0,解得,則時(shí),>0,所以f(x)在上單調(diào)遞增;時(shí),<0,所以f(x)在上單調(diào)遞減.

綜上所述,a=0時(shí),f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)a<0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增;f(x)在上單調(diào)遞減.

(Ⅱ) 由題意有解,即有解,

因此只需有解即可.

設(shè) ,則

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030606170047469266/SYS201403060617467090327709_DA.files/image020.png">,且時(shí),.

所以<0,即<0,

故h(x)在單調(diào)遞減,

所以h(x)<h(0)=0,故m<0.

(Ⅲ)當(dāng)a=0時(shí),,f(x)與g(x)的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030606170047469266/SYS201403060617467090327709_DA.files/image026.png">,,

設(shè),則上單調(diào)遞增,所以.

又設(shè)

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;

所以x=1為函數(shù)的極大值點(diǎn),即,故.

即公共定義域內(nèi)任一點(diǎn)差值都大于2.

考點(diǎn):1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù);2.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì);3.不等式的證明.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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