Question

現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對(duì)甲項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，一年后利潤(rùn)是1.2萬(wàn)元、1.18萬(wàn)元、1.17萬(wàn)元的概率分別為

1

6

、

1

2

、

1

3

；已知乙項(xiàng)目的利潤(rùn)與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價(jià)格下降的概率都是P（0＜P＜1），設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為ζ，對(duì)乙項(xiàng)目每投資十萬(wàn)元，ξ取0、1、2時(shí)，一年后相應(yīng)利潤(rùn)是1.3萬(wàn)元、1.25萬(wàn)元、0.2萬(wàn)元．隨機(jī)變量ξ₁、ξ₂分別表示對(duì)甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬(wàn)元一年后的利潤(rùn)．
（I）求ξ₁、ξ₂的概率分布和數(shù)學(xué)期望Eξ₁、Eξ₂；
（II）當(dāng)Eξ₁＜Eξ₂時(shí)，求P的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意寫(xiě)出變量ξ₁概率分布，表示出期望，根據(jù)條件可以看出變量ξ₂符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率寫(xiě)出分布列，算出期望．
（2）根據(jù)上一問(wèn)做出的期望，由Eξ₁＜Eξ₂寫(xiě)出概率P滿足的不等關(guān)系，整理后變化為一元二次不等式的解集，采用十字相乘法得到一元二次不等式的解集，注意概率本身的限制條件．

解答：解：（I）由題意知ξ₁概率分布為

Eξ₁=1.2×

1

6

+1.18×

1

2

+1.17×

1

3

=1.18．
由題設(shè)得ξ₂～B（2，P），則ξ₂的概率分布為

∴ξ₂的數(shù)學(xué)期望為
Eξ₂=1.3×（1-P）²+1.25×2P（1-P）+0.2×P²=-P²-0.1P+1.3
（II）由Eξ₁＜Eξ₂，得：
-P²-0.1P+1.3＞1.18
∴（P+0.4）（P-0.3）＜0，
∴-0.4＜P＜0.3
∵0＜p＜1，
∴Eξ₁＜Eξ₂時(shí)，p的取值范圍是0＜p＜0.3．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查同學(xué)們運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．是一個(gè)大型的綜合題，可以處在高考題目中．