Question

【題目】已知函數(shù)，．

Ⅰ討論的單調(diào)性；

Ⅱ當時，若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，在上是單調(diào)增函數(shù)，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（Ⅱ）

【解析】

Ⅰ求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當時，，在上是單調(diào)增函數(shù)；當時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，把定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段的符號確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；Ⅱ由Ⅰ可得，當時，求出函數(shù)的最大值，把不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為在時恒成立，換元后利用導(dǎo)數(shù)求最值得答案．

Ⅰ，

．

當時，，在上是單調(diào)增函數(shù)；

當時，．

當時，，當時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上，當時，在上是單調(diào)增函數(shù)，

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

Ⅱ由Ⅰ可得，當時，．

由不等式恒成立，得恒成立，

即在時恒成立．

令，，則，

當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減．

的最大值為．

由，得．

實數(shù)b的取值范圍是．