Question

已知點(diǎn)G為△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線與AB、AC兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)，且

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，求

1

x

+

1

y

的值．

Answer 1

分析：由G為三角形的重心則

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），結(jié)合

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，我們根據(jù)M，G，N三點(diǎn)共線，易得到x，y的關(guān)系式，整理后即可得到

1

x

+

1

y

的值．

解答：解：根據(jù)題意G為三角形的重心，

AG

=

1

3

（

AB

+

AC

），

MG

=

AG

-

AM

=

1

3

（

AB

+

AC

）-x

AB

=(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

，

GN

=

AN

-

AG

=y

AC

-

AG

=y

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)
=(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

，
由于

MG

與

GN

共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)λ，使得

MG

=λ

GN

，
即(

1

3

-x)

AB

+

1

3

AC

=λ[(y-

1

3

)

AC

-

1

3

AB

]，
即

1 3 -x=- 1 3 λ 1 3 =λ(y- 1 3 )

∴

1 3 -x

- 1 3

=

1 3

y- 1 3

即x+y-3xy=0
兩邊同除以xy整理得

1

x

+

1

y

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，向量的共線定理，及三角形的重心，其中根據(jù)

MG

與

GN

共線，根據(jù)共線向量基本定理知，存在實(shí)數(shù)λ，使得

MG

=λ

GN

，進(jìn)而得到x，y的關(guān)系式，是解答本題的關(guān)鍵．