Question

【題目】已知（ ﹣ ）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列．
（1）證明：展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；
（2）求展開式中所有有理項(xiàng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，C1n（ ），C2n（ ）2，

且2C1n =1+C2n（ ）2，

即n2﹣9n+8=0，∴n=8（n=1舍去），

∴展開式的第k+1項(xiàng)為Ck8（ ）8﹣k（﹣ ）k

=（﹣ ）kCk8x x﹣ =（﹣1）kCk8x ．

證明：若第k+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

當(dāng)且僅當(dāng) =0，即3k=16，

∵k∈Z，∴這不可能，∴展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

（2）解：若第k+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng) 為整數(shù)，

∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，

即展開式中的有理項(xiàng)共有三項(xiàng)，它們是：

T1=x4，T5= x，T9= x﹣2

【解析】（1）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得到常數(shù)項(xiàng)，方程無(wú)解，得證．（2）令展開式中的x的指數(shù)為有理數(shù)，求出k值，再求出相應(yīng)的有理項(xiàng)．
【考點(diǎn)精析】掌握等差數(shù)列的性質(zhì)和二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道在等差數(shù)列{an}中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；二項(xiàng)式通項(xiàng)公式:．