Question

函數(shù)f(x)=

x2+5x 6 ，0≤x＜3 10-2x，3≤x≤5

，?m，n∈[0，5]（m＜n），使f（x）在[m，n]上的值域為[m，n]，則這樣的實數(shù)對（m，n）共有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：先畫出函數(shù)的圖象，結合函數(shù)的圖象分①0≤m＜n＜3，②3≤m＜n≤5，③0≤m＜3＜n＜5三種情況，判斷函數(shù)的表達式及在對應區(qū)間上的單調性可求．

解答：解：先畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，由題意可得m≠0
①當0≤m＜n＜3時，f（x）=

x2+5x

6

在區(qū)間[m，n]單調遞增，則

f(m)=m f(n)=n

?

m2+5m=6m n2+5n=6n

?

m=0 n=1

②當3≤m＜n≤5，f（x）=10-2x在[m，n]單調遞減，則

f(m)=n f(n)=m

?

10-2m=n 10-2n=m

?m=n（舍）
③當0≤m＜3＜n＜5時，可知函數(shù)的最大值為f（3）=4=n，從而可得函數(shù)的定義域及值域為[m，4]，而f（4）=2
（i）當m=2時，定義域[2，4]，f（2）=

7

3

＞f（4）=2，故值域為[2，4]符合題意
（ii）當m＜2時，f(m)=

m2+5m

6

=m可得m=1，n=4，符合題意
（iii）當m=0時，定義域[0，4]，f（3）=4＞f（4）=2，故值域為[0，4]符合題意
綜上可得符合題意的有（0，1），（0，4），（1，4），（2，4）
故選D．

點評：本題主要考查了分段函數(shù)的值域的求解，解題中如能借助于函數(shù)的圖象，可以簡化運算，要注意數(shù)形結合及分類討論思想在解題中的運用．