Question

如圖，以長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)A、C及另兩個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造四面體．
（1）若該四面體的四個(gè)面都是直角三角形，試寫出一個(gè)這樣的四面體（不要求證明）；
（2）我們將四面體中兩條無公共端點(diǎn)的棱叫做對(duì)棱，若該四面體的任一對(duì)對(duì)棱垂直，試寫出一個(gè)這樣的四面體（不要求證明）；
（3）若該四面體的任一對(duì)對(duì)棱相等，試寫出一個(gè)這樣的四面體（不要求證明），并計(jì)算它的體積與長(zhǎng)方體的體積的比．

Answer 1

分析：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD；該四面體的四個(gè)面都是直角三角形；
（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；該四面體的任一對(duì)對(duì)棱垂直；
（3）如四面體A-B₁CD₁；設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，其中四面體A-B₁CD₁的體積等于長(zhǎng)方體的體積減去4個(gè)角上的三棱錐的體積即得．

解答：解：（1）如四面體A₁-ABC或四面體C₁-ABC或四面體A₁-ACD或四面體C₁-ACD；---（4分）
（2）如四面體B₁-ABC或四面體D₁-ACD；-------------------------（8分）
（3）如四面體A-B₁CD₁（（3分） ）；-------------------------（11分）
設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則

abc-4× 1 6 abc

abc

=

1

3

．---------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．