Question

2．在直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極曲線C的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=18，且曲線C的左焦點F在直線l上．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）求曲線C的內(nèi)接矩形的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出曲線C的普通方程和焦點坐標，將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的幾何意義得出；
（2）內(nèi)接矩形位于第一象限的頂點坐標為（3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），由對稱性可得橢圓C的內(nèi)接矩形的周長，再利用輔助角公式化簡此周長，利用正弦函數(shù)的值域求出此周長的最大值．

解答 解：（1）在直角坐標系中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}}$（t為參數(shù)），化為普通方程為4x-3y-4m=0，
以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極曲線C的極坐標方程為ρ²（1+2sin²θ）=18，
化為普通方程為x²+3y²=18，即$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1，故此橢圓的左焦點F（-2$\sqrt{3}$，0）．
∵曲線C的左焦點F在直線l上，∴-8$\sqrt{3}$-0-4m=0，∴m=-2$\sqrt{3}$．．
（2）根據(jù)橢圓的對稱性，設(shè)它的內(nèi)接矩形位于第一象限的頂點坐標為（3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
則其他定點的坐標分別為（-3$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{6}$sinθ），（-3$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{6}$sinθ），（3$\sqrt{2}$cosθ，-$\sqrt{6}$sinθ），
故該矩形的一邊長為 6$\sqrt{2}$cosθ，另一邊長為2$\sqrt{6}$sinθ，
故曲線C的內(nèi)接矩形的周長為2×（6$\sqrt{2}$cosθ+2$\sqrt{6}$sinθ）=8$\sqrt{6}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=8$\sqrt{6}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
故當θ=$\frac{π}{6}$時，曲線C的內(nèi)接矩形的周長取得最大值為8$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，正弦函數(shù)的值域，輔助角公式，函數(shù)的最值，屬于中檔題．