已知橢圓Γ的方程為,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)為Γ的三個頂點.
(1)若點M滿足,求點M的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點,交直線l2:y=k2x于點E.若,證明:E為CD的中點;
(3)設(shè)點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,如何構(gòu)作過PQ中點F的直線l,使得l與橢圓Γ的兩個交點P1、P2滿足?令a=10,b=5,點P的坐標(biāo)是(-8,-1),若橢圓Γ上的點P1、P2滿足,求點P1、P2的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)由題意知M是B(0,-b)和Q(a,0)的中點,所以
(2)由題設(shè)條件得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,所以a2k12+b2-p2>0是CD的中點;
(3)因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,所以點F在橢圓Γ內(nèi),可以求得直線OF的斜率k2,由知F為P1P2的中點,由此可得P1(-6,-4)、P2(8,3).
解答:解:(1)∵,
∴M是B(0,-b)和Q(a,0)的中點,

(2)由方程組,
消y得方程(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-b2)=0,
因為直線l1:y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點,
所以△>0,即a2k12+b2-p2>0,
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中點坐標(biāo)為(x,y),設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),CD中點坐標(biāo)為(x,y),
,
由方程組,消y得方程(k2-k1)x=p,
又因為
所以,
故E為CD的中點;
(3)因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上,
所以點F在橢圓Γ內(nèi),可以求得直線OF的斜率k2
知F為P1P2的中點,
根據(jù)(2)可得直線l的斜率,
從而得直線l的方程.,
直線OF的斜率,
直線l的斜率,
解方程組,消y:x2-2x-48=0,
解得P1(-6,-4)、P2(8,3),或P1(8,3)、P2(-6,-4),.
點評:本題考查直線的圓錐曲線的綜合問題,解題時要注意公式的靈活運用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),B是它的下頂點,F(xiàn)是其右焦點,BF的延長線與橢圓及其右準(zhǔn)線分別交于P、Q兩點,若點P恰好是BQ的中點,則此橢圓的離心率是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,點A、B分別為其左、右頂點,點F1、F2分別為其左、右焦點,以點A為圓心,AF1為半徑作圓A;以點B為圓心,OB為半徑作圓B;若直線l: y=-
3
3
x
被圓A和圓B截得的弦長之比為
15
6
;
(1)求橢圓C的離心率;
(2)己知a=7,問是否存在點P,使得過P點有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
3
4
;若存在,請求出所有的P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•泉州模擬)已知橢圓C的方程為:
x2
a2
+
y2
2
=1 (a>0)
,其焦點在x軸上,離心率e=
2
2

(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動點P(x0,y0)滿足
OP
=
OM
+2
ON
,其中M,N是橢圓C上的點,直線OM與ON的斜率之積為-
1
2
,求證:x02+2
y
2
0
為定值.
(3)在(2)的條件下,問:是否存在兩個定點A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x24
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2,(其中O為原點),求l斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點分別是C1的左、右頂點,而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B,且
OA
OB
>2
(其中O為原點),求k的范圍.
(3)試根據(jù)軌跡C2和直線l,設(shè)計一個與x軸上某點有關(guān)的三角形形狀問題,并予以解答(本題將根據(jù)所設(shè)計的問題思維層次評分).

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