Question

【題目】已知函數(shù)在處取得極值．

Ⅰ求實(shí)數(shù)a的值；

Ⅱ若關(guān)于x的方程在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

Ⅲ證明：參考數(shù)據(jù)：．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）見解析

【解析】

(1)求導(dǎo)，由f′(1)＝0構(gòu)造方程求出a；(2)由(1)將方程f(x)＋2x＝x2＋b化簡(jiǎn)，令g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，求導(dǎo)，研究當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況，確定函數(shù)的最值，從而建立不等式組，即可求得結(jié)論；(3)設(shè)φ(x)＝lnx－(x2－1)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得當(dāng)x≥2時(shí)，>2，從而累加可得結(jié)論．

（1）f′(x)＝1－，∵x＝1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f′(1)＝0，即1－＝0，∴a＝0.

經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

(2)由(1)得f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b即x－lnx＋2x＝x2＋b，∴x2－3x＋lnx＋b＝0，

設(shè)g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x>0)，

則g′(x)＝2x－3＋＝

＝.

由g′(x)>0得0<x<或x>1，由g′(x)<0得<x<1，

∴當(dāng)x∈，(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x∈時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)極小值＝g(1)＝b－2，g＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2，

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴即解得＋ln2≤b<2.

(3)證明：∵k－f(k)＝lnk，∴>.

＋＋＋…＋> (n∈N，n≥2)

設(shè)φ(x)＝lnx－ (x2－1)，則φ′(x)＝－＝＝－

當(dāng)x≥2時(shí)，φ′(x)<0，∴函數(shù)y＝φ(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，

∴φ(x)≤φ(2)＝ln2－<0，∴l(xiāng)nx< (x2－1)．

∴當(dāng)x≥2時(shí)， >＝

＝2，

∴＋＋＋…＋>2

＝2＝.

∴原不等式成立．