Question

2．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，PC⊥面ABCD，PC=2，求點(diǎn)B到平面PEF的距離．

Answer 1

分析 求點(diǎn)B到面GEF的距離，就是求C到平面EFG距離的 $\frac{1}{3}$，直接作垂線求解即可．

解答 解：如圖，連接EP、FP、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．因?yàn)锳BCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．
BD不在平面EFP上．否則，平面EFP和平面ABCD重合，從而點(diǎn)P在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾．
由直線和平面平行的判定定理知BD∥平面EFP，所以BD和平面EFP的距離就是點(diǎn)B到平面EFP的距離．
∵BD⊥AC，
∴EF⊥HC．
∵PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥PC，
∴EF⊥平面HCP．
∴平面EFP⊥平面HCP，HP是這兩個(gè)垂直平面的交線．
作OK⊥HP交HP于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFP，所以線段OK的長(zhǎng)就是點(diǎn)B到平面EFP的距離．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，PC=2，
∴AC=4$\sqrt{2}$，HO=$\sqrt{2}$，HC=3$\sqrt{2}$．
∴在Rt△HCP中，HP=$\sqrt{{（3\sqrt{2}）}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{22}$．
由于Rt△HKO和Rt△HCP有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCP．
∴OK=$\frac{HO•PC}{PH}$=$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{22}}$=$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
即點(diǎn)B到平面EFP的距離為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．解決此類問題應(yīng)該注意從三維空間向二維平面的轉(zhuǎn)化，從而找到解題的捷徑．