Question

下列命題：
①

a

•

b

＞0是

a

•

b

的夾角為銳角的充要條件；
②若f（x）在R上滿足f（x-2）=-f（x），則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-1，x≤0 log2x，x＞0

，則f（f（

1

2

））的值是1；
④方程lnx+x=4有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．（寫出所有真命題的代號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①

a

•

b

＞0，可得cos＜

a

，

b

＞＞0，＜

a

，

b

＞是銳角或0°，即可判斷出；
②由于f（x）在R上滿足f（x-2）=-f（x），則f（x-4）=-f（x-2）=f（x），即可判斷出；
③函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-1，x≤0 log2x，x＞0

，則f(

1

2

)=log2

1

2

=-1，f（-1）=2-1=1，即可得出f（f（

1

2

））；
④畫出圖象：y=lnx與y=4-x，即可得出．

解答： 解：①

a

•

b

＞0，∴cos＜

a

，

b

＞＞0，∴＜

a

，

b

＞是銳角或0°，因此

a

•

b

＞0是

a

•

b

的夾角為銳角的必要不充分條件，不正確；
②若f（x）在R上滿足f（x-2）=-f（x），則f（x-4）=-f（x-2）=f（x），∴f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，正確；
③函數(shù)f（x）=

( 1 2 )x-1，x≤0 log2x，x＞0

，則f(

1

2

)=log2

1

2

=-1，f（-1）=2-1=1，∴f（f（

1

2

））的值是1，正確；
④方程lnx+x=4有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，正確，如圖所示．
其中正確命題的序號(hào)是 ②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、周期性、數(shù)量積運(yùn)算、分段函數(shù)的計(jì)算、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．